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案例一： 第十八章 勾股定理

§18.1 勾股定理

 ●教学目标

（一）教学知识点

1.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c².

2.古代把较短的边称为勾，较长的边称为股，所以我们称这个定理为勾股定理.

（二）能力训练要求

1.运用勾股定理进行简单的计算.

2.用勾股定理解决实际问题.

3.掌握勾股定理的验证.

（三）德育渗透目标

1.学生经历“观察一猜想一归纳一验证”的数学思想.

2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力.

3.体会从特殊到一般的数学思想.

4.提高学生数学素质.

 ●教学重点

了解勾股定理并能运用勾股定理解决实际问题.

 ●教学难点

掌握勾股定理的验证.

 ●教学方法

引导发现、启发讲解、导入情境相结合.

 ●教具准备

多媒体、方格纸、4个全等直角三角形.

 ●教学过程

 Ⅰ.课题导入

教师通过多媒体展示课件图片：2022年在北京召开的世界数学家大会的会徽，然后提出问题：同学们认识这个图片吗？知道这个图片的由来吗？给予一定时间，学生小组讨论.教师根据学生的猜想做出一定的评价，并引出今天要学习的课题-------勾股定理.

 Ⅱ.讲授新课

看一看，想一想

教师展示课件图片，并提出问题：图中都是行距、列距都是1的方格网，在其中斜放一个正方形ABCD，组织学生小组进行讨论并交流，教师巡视指导，并让同学们解决以下问题：

[师] 你怎样计算这个正方形的面积呢？

[生] 用大正方形得面积减去四个小三角的面积.

[师] 用数学语言写出来.

[生] S_斜正方形=S_{正放大正方形}-4S_{直角三角形}

[生评] 若想求出这个正方形的面积得把方格纸看成大正方形，再把斜放的正方形与大正方形之间的四个直角三角形减去就可以求出斜放正方形得面积.

[例]同学们回答非常正确，我们继续看下面的问题：

1.用前面提供的方法分别计算图2（1），（2），（3）中，S₁,S₂,S₃的值

[生 C] S₁=1，S₂=1，S₃=2.

[生 D] S₁=9，S₂=9，S₃=18.

[生 E] S₁=9，S₂=16，S₃=25.

2.图2中的S₁,S₂,S₃之间的关系，并用它们的边长表示出来.

[生 A] S₁+S₂=S₃.

[生 B] a²+b²=c².

[师生共评]

这个关系有助于我们了解直角三角形三边长得关系，这也是我们这节课教学的重点.

猜一猜

[师] 这个关系是否对所有直角三角形都成立呢？下面请同学们在你们的方格纸上再画几个不同的直角三角形，把它的a²，b²，c²计算出来，看一下这个关系是否依然成立.

[生议] 作图、计算，验证等式对所有直角三角形都是成立的.

拼一拼

[师] 我们在看下一道例题前，先来玩一个游戏，将你们手中的四个全等的直角边长分别为a，b，斜边为c的直角三角形，拼成含有另一个较小正方形的正方形，并找出拼图中的面积关系.

[生] 动手拼图，得出结论.

证一证

[师] 接下来我们一起带着问题看下面这道例题

[例] 已知：如图3（1），在Rt∆ABC中，∠C=90⁰,AB=c，BC=a，AC=b.求证：a²+b²=c².

[师生议] 证明：取4个与Rt全等的直角三角形，把它们拼成如图3（2）的形状.

从图中可见：四边形EFGH是边长为a+b的正方形.

可证四边形A₁B₁C₁D₁是边长为c的正方形，且S_{正方形EFGH}-4S_三角形ABC=S_{正方形A1B1C1D1}

即（a+b）²-4×1/2ab=c²

化简，即得a²+b²=c².

[师评] 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c².

练一练 求稳固

Ⅲ.课堂练习

1. 在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5,12），则点P到原点的距离是（　　）

A．5     B．12      C．13           D．17

[生F]由勾股定理得，点P到原点的距离是√5^2＋12^2＝13.故选C.

2. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　）

[生G]由勾股定理得：AB＝√3^2+4^2＝5；

故答案为B．

3. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）

A．a=15，b=8，c=17         B．a=9，b=12，c=15

C．a=7，b=24，c=25         D．a=3，b=5，c=7

[生H]A．152+82=172=289，是勾股数；B．92+122=152=225，是勾股数；

C．72+242=252=625，是勾股数；D．32+52≠72，不是勾股数.

故选D．

4. 已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（　　）

A．5          B．√7         C．5或√7        D．5或6

[生I]分两种情况：当c为斜边时，c=√(3^2+4^2)=5；

当长4的边为斜边时，c=√(4^2−3^2)=√7.故选C．

课外拓展

勾股定理的发展史：《周髀算经》中记录（约公元前1120年）——公元前7至6世纪中国学者陈子给出任意直角三角形的三边关系——陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理——1945年，人们发现古巴比伦是最早研究勾股定理的.

勾股定理较有名的证明方法：中国的“青朱出入图”；古印度的“无字证明”；著名画家达·芬奇的证法；赵爽弦图；毕氏证法；“总统证法”.

Ⅳ.课时小结

勾股的含义：

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.

勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².

几何描述：

    ∵△ABC是直角三角形，

    ∴三边之间的关系为：a²+b²=c².

Ⅴ.课后作业

做一做  肯定行

课后同学完成书本习题

●板书设计

§18.1  勾股定理 看一看 想一想        (概念性质) 猜一猜(例题探索) 拼一拼               （动手操作） 证一证               （验证猜想） 练一练 求稳固(内容巩固)     做一做 肯定行    (探究学习掌握策略)